7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой.
Пусть y = f(x) - дифференцируемая в точке x0 функция, M0 - точка на графике этой функции с координатами x0 и y0 = f(x0), k = tgj - угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке M0, j(-p/2<j£p/2) - угол наклона касательной к оси абсцисс (рис 1а).
Геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) = k. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M0 имеет вид
Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции y = f(x) в этой точке.
Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке M0 (x0 , y0) имеет вид
Замечание 2. Пусть f'(x0) = +¥ (или -¥). Тогда касательная к графику функции y = f(x) в точке M0 параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x0 (рис.1б).
Замечание 3. Если f'(x0) = 0, то касательная к графику функции y = f(x) в точке M0 параллельна оси Ох (рис.1в).
Пример. Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x2 в точке с абсциссой 2.
Решение. Пусть x0=2, f(x) = x2. Тогда , f(x0) = 4, f '(x) = 2x, f '(x0) = 4. Получаем уравнение касательной: y - 4 = 4(x - 2) или y - 4x + 4 = 0.
Уравнение нормали: 4(y - 4) + x - 2 = 0 или x + 4 y - 18 = 0.