9. Правило Лопиталя.
Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть 1) функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а (проколотой окрестностью точки а называется ее окрестность без а)
2)
3) g(x) ≠ 0 и g'(x) ≠ 0 в этой окрестности.
Тогда, если существует
то существует 
и верно равенство
Замечание 4. Теорема верна и для случая а = ¥ (+¥, -¥).
Замечание 5. Теорема верна и для случая
Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция
является неопределенностью вида
при x ® a , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях
раскрыть эти неопределенности.Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы
является неопределенностью вида .
Тогда правило Лопиталя применяется повторно к и т.д. Если после нескольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное
значение, то оно будет равно Примеры. Найти предел
Решение. Функции f(x) = ex – e-x и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) теоремы 2, причем имеет место неопределенность вида 0/0. Применим правило Лопиталя:
Найти предел
Решение. Имеет место неопределенность вида 0/0. Применим правило Лопиталя.
Вновь имеет место неопределенность вида 0/0. Следуя замечанию 7, применим правило Лопиталя повторно. При этом замечаем, что
поэтому правило применяем
только к функции
Найти предел
Решение. Имеет место неопределенность вида ¥/¥. Применим правило Лопиталя.
Здесь правило Лопиталя применено два раза.
Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у показателя экспоненты и любом положительном показателе степени х. Этот факт неформально означает, что "экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при х®+¥".
Найти предел
Решение. Имеет место неопределенность вида ¥/¥. Применим правило Лопиталя.
Здесь правило Лопиталя применено два раза.
Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях степеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем логарифмическая при х®+¥".